Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，F(xiàn)（x）=e^x+ax，其中x＞0，a＜0，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）和F（x）在區(qū)間（0，ln3）內(nèi)具有相同的單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若$a∈（{-∞，-\frac{1}{e^2}}]$，且函數(shù)g（x）=xe^ax-1-2ax+f（x）的最小值為M，求M的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間，再根據(jù)f（x）和F（x）在區(qū)間（0，ln3）內(nèi)具有相同的單調(diào)性，即可求出a的范圍，
（Ⅱ）先求導，再令其導數(shù)為0，得到a=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，再構(gòu)造函數(shù)p（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，利用導數(shù)求出p（x）的最小值，即可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，求出g（x）的最小值，
再構(gòu)造函數(shù)，求出最值即可．

解答 解：（Ⅰ）求導，$f'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$，F(xiàn)'（x）=e^x+x，x＞0，a＜0，
f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
當-1≤a＜0時，F(xiàn)'（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不合題意
當a＜-1時，由F'（x）＞0，得x＞ln（-a），由F'（x）＜0，得0＜x＜ln（-a），
∴F（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，ln（-a）），單調(diào)增區(qū)間為（ln（-a），+∞）
∵f（x）和F（x）在區(qū)間（0，ln3）上具有相同的單調(diào)性，
∴l(xiāng)n（-a）≥ln3，解得：a≤-3，
綜上，a的取值范圍是（-∞，-3]；
（Ⅱ）$g'（x）={e^{ax-1}}+ax{e^{ax-1}}-a-\frac{1}{x}=（{ax+1}）（{{e^{ax-1}}-\frac{1}{x}}）$，
由${e^{ax-1}}-\frac{1}{x}=0$，解得：$a=\frac{1-lnx}{x}$，
設$p（x）=\frac{1-lnx}{x}$，則$p'（x）=\frac{lnx-2}{x^2}$，
當x＞e²時，p'（x）＞0，當0＜x＜e²，p'（x）＜0，
從而p（x）在（0，e²）上單調(diào)遞減，在（e²，+∞）上單調(diào)遞增，
$p{（x）_{min}}=p（{e^2}）=-\frac{1}{e^2}$，
當$a≤-\frac{1}{e^2}，a≤\frac{1-lnx}{x}$，即${e^{ax-1}}-\frac{1}{x}≤0$，
在$（{0，-\frac{1}{a}}）$上，ax+1＞0，g'（x）≤0，g（x）單調(diào)遞增，
在$（{\frac{1}{a}，+∞}）$上，ax+1＜0，g'（x）≥0，g（x）單調(diào)遞增，
∴$g{（x）_{min}}=g（{-\frac{1}{a}}）=M$，
設$t=-\frac{1}{a}$∈（0，e²]，
$M=h（t）=\frac{t}{e^2}-lnt+1，（{0＜t≤{e^2}}）$，
∴$h'（t）=\frac{1}{e^2}-\frac{1}{t}≤0$，h（x）在∈（0，e²]上單調(diào)遞減，
∴h（t）≥h（e²）=0，
∴M的最小值為0．

點評 本題考查了導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查分類整合思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力，屬于難題