Question

17．如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，$CF=\sqrt{2}$．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）點M在線段EF上運動，設(shè)平面MAB與平面FCB二面角的平面角為θ（θ≤90°），試求cosθ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知求解三角形可得BC⊥AC，由平面ACFE⊥平面ABCD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得BC⊥平面ACFE；
（2）建立空間坐標系，令FM=λ（0≤λ≤$\sqrt{3}$），根據(jù)坐標表示出兩個平面的法向量，結(jié)合向量的有關(guān)運算求出二面角的余弦值關(guān)于λ的表達式，再利用函數(shù)的有關(guān)知識求出余弦的范圍．

解答 （1）證明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，則AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，得BC⊥AC．
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，
BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE；
（2）解：由（1）可建立分別以直線CA，CB，CF為x軸，y軸，z軸的如圖所示空間直角坐標系，
令FM=λ（0≤λ≤$\sqrt{3}$），則C（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1）．
$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BM}$=（λ，-1，1）．
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面MAB的一個法向量，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=λx-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}-λ$），
∵$\overrightarrow{n}$=（1，0，0）是平面FCB的一個法向量．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+3+（\sqrt{3}-λ）^{2}}×1}$=$\frac{1}{\sqrt{（λ-\sqrt{3}）^{2}+4}}$．
∵0≤λ≤$\sqrt{3}$，∴當λ=0時，cosθ有最小值$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
當λ=$\sqrt{3}$時，cosθ有最大值$\frac{1}{2}$．
∴cosθ∈[$\frac{\sqrt{7}}{7}，\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查平面與平垂直的證明，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求二面角的余弦值，是中檔題．