Question

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f（x）=x|x-2|．若關于x的方程f²（x）+af（x）+b=0（a，b∈R）恰有10個不同實數(shù)解，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，2）
• B． （-2，0）
• C． （1，2）
• D． （-2，-1）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出f（x）的解析式，令t=f（x），將方程轉化為一元二次函數(shù)，由根與系數(shù)之間的關系進行求解即可．

解答 解：設x＜0，則-x＞0，滿足表達式f（x）=x|x-2|．
∴f（-x）=-x|-x-2|=-x|x+2|，
又∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=-x|x+2|，
故當x＜0時，f（x）=-x|x+2|．
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x|x-2|，x≥0}\\{-x|x+2|，x＜0}\end{array}\right.$，
作出f（x）的圖象如圖：
設t=f（x），
由圖象知，當t＞1時，t=f（x）有兩個根，
當t=1時，t=f（x）有四個根，
當0＜t＜1時，t=f（x）有六兩個根，
當t=0時，t=f（x）有三個根，
當t＜0時，t=f（x）有0個根，
則方程[f（x）]²+af（x）+b=0等價為t²+at+b=0，
若方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a∈R）恰好有1個不同實數(shù)解，
等價為方程t²+at+b=0有兩不同的根，
且0＜t₁＜1，t₂=1，
則t₁+t₂=-a，
即1＜t₁+t₂＜2，
則1＜-a＜2，
即-2＜a＜-1，
則a的取值范圍為（-2，-1），
故選D．

點評 本題考查函數(shù)的單調性和奇偶性的運用，主要考查方程與函數(shù)的零點的關系，利用換元法轉化為一元二次方程根與系數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．