12.如圖,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,且$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{AC}$=5$\overrightarrow{AE}$,
(1)若$\overrightarrow{BF}$=-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$,求證:點(diǎn)F為DE的中點(diǎn);
(2)在(1)的條件下,求$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{EF}$的值.

分析 (1)用$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{AE}$表示出$\overrightarrow{AF}$,即可得出結(jié)論;
(2)用$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{EF}$,再計(jì)算$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{EF}$.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow{BF}$=-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$,∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$,
又$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{AC}$=5$\overrightarrow{AE}$,∴$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$,
∴F為DE的中點(diǎn).
(2)由(1)可得$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{ED}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$),
∵$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{AC}$=5$\overrightarrow{AE}$,∴$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$.
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{EF}$=-$\overrightarrow{AB}$•($\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AC}$)=-$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{10}$$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=-$\frac{1}{4}$×4+$\frac{1}{10}$×2×6×cos60°=-$\frac{2}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理,平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

2.如圖,在六面體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),平面ABCD⊥平面A1B1BA,平面ABCD平面B1BCC1
(1)證明:BB1⊥平面ABCD;
(2)已知六面體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為$\sqrt{5}$,cos∠BAD=$\frac{3}{5}$,設(shè)平面BMN與平面AB1D1相交所成二面角的大小為θ求cosθ.

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3.已知向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2,且$\overrightarrow$⊥(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$),則向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為( 。
A.$\frac{π}{6}$B.$\frac{π}{3}$C.$\frac{2π}{3}$D.$\frac{5π}{6}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

20.定義:如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a,b]上存在x0(a<x0<b),滿足f(x0)=$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,則稱函數(shù)y=f(x)是[a,b]上的“平均值函數(shù)”,x0是它的一個(gè)均值點(diǎn),例如y=|x|是[-2,2]上的平均值函數(shù),0就是它的均值點(diǎn),若函數(shù)f(x)=x2-mx-1是[-1,1]上的“平均值函數(shù)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A.[-1,1]B.(0,2)C.[-2,2]D.(0,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

7.設(shè)函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}+4a,x>3}\\{2x+{a}^{2},x≤3}\end{array}\right.$,其中a>0,若f(x)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[7,+∞).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

17.對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,…,8),得散點(diǎn)圖如圖①所示,對(duì)變量u,v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui,vi)(i=1,2,3,…,8),得散點(diǎn)圖如圖②所示,由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷( 。
A.變量x與y正相關(guān);u與v正相關(guān)B.變量x與y正相關(guān);u與v負(fù)相關(guān)
C.變量x與y負(fù)相關(guān);u與v正相關(guān)D.變量x與y負(fù)相關(guān);u與v負(fù)相關(guān)

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4.如圖,面積為10的矩形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在矩形中隨機(jī)撒一粒種子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為$\frac{3}{5}$,則陰影區(qū)域的面積為6.

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1.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且asinAsinB+bcos2A=$\frac{4}{3}$a.
(1)求$\frac{a}$;
(2)若c2=a2+$\frac{1}{4}$b2,求角C.

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2.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x|x-2|.若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=0(a,b∈R)恰有10個(gè)不同實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍為(  )
A.(0,2)B.(-2,0)C.(1,2)D.(-2,-1)

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