試題分析:(1)本題唯一的條件是
為奇函數(shù),故其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),通過(guò)求函數(shù)的定義域可求得
,當(dāng)然這時(shí)還要根據(jù)奇函數(shù)的定義驗(yàn)證
確實(shí)是奇函數(shù);(2)要判斷函數(shù)的單調(diào)性,可根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)確定,然后再根據(jù)定義證明,而函數(shù)
為奇函數(shù),故只要判斷函數(shù)在區(qū)間
上的單調(diào)性即可,變形
為
可得
在
是遞減,當(dāng)然它在
上也是遞減的,然后用單調(diào)性定義田加以證明;(3)
為奇函數(shù),它的對(duì)稱(chēng)中心為
,
的圖象是由
的圖象平移過(guò)去的,因此對(duì)稱(chēng)中心也相應(yīng)平移,即
對(duì)稱(chēng)中心為
,函數(shù)
的圖象對(duì)稱(chēng)中心為
,則
有性質(zhì):
,因此本題是有
,即
.
試題解析:(1)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),由
,得
,所以
. 2分
這時(shí)
滿(mǎn)足
,函數(shù)為奇函數(shù),因此
4分
(2)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).
法一:用單調(diào)性定義證明;
法二:利用已有函數(shù)的單調(diào)性加以說(shuō)明.
在
上單調(diào)遞增,因此
單調(diào)遞增,又
在
及
上單調(diào)遞減,因此函數(shù)
在
及
上單調(diào)遞減;
法三:函數(shù)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032205444631.png" style="vertical-align:middle;" />,說(shuō)明函數(shù)在
上單調(diào)遞減,因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),因此函數(shù)在
上也是單調(diào)遞減,因此函數(shù)
在
及
上單調(diào)遞減.
10分
(本題根據(jù)具體情況對(duì)照給分)
(3)因?yàn)楹瘮?shù)
為奇函數(shù),因此其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng),根據(jù)條件得到函數(shù)
的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為
, 13分
因此有
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032204695511.png" style="vertical-align:middle;" />,因此
16分