Question

18．設(shè)F為拋物線y²=4x的焦點，A，B，C為該拋物線上不同的三點，$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$，O為坐標原點，且△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為S₁、S₂、S₃，則$S_1^2+S_2^2+S_3^2$=3．

Answer 1

分析 確定拋物線y²=4x的焦點F的坐標，求出S₁²+S₂²+S₃²，利用點F是△ABC的重心，即可求得結(jié)論

解答 解：設(shè)A、B、C三點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
∵拋物線y²=4x的焦點F的坐標為（1，0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$|y₁|，S₂=$\frac{1}{2}$|y₂|，S₃=$\frac{1}{2}$|y₃|，
∴S₁²+S₂²+S₃²=$\frac{1}{4}$（y₁²+y₂²+y₃²）=x₁+x₂+x₃，
∵$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow 0$，∴點F是△ABC的重心．
∴x₁+x₂+x₃=3．
∴S₁²+S₂²+S₃²=3．
故答案為3．

點評 本題考查拋物線的定義，考查三角形重心的性質(zhì)，屬于中檔題．