Question

7．過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦點F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A，B兩點，則$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 求得直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式即可求得丨AB丨，則|AF||BF|=$\sqrt{（{x}_{1}+1）^{2}+{y}_{1}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}+1）^{2}+{y}_{2}^{2}}$，則$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{丨BF丨+丨AF丨}{丨AF丨•丨BF丨}$=$\frac{丨AB丨}{丨AF丨丨BF丨}$，代入即可求得答案．

解答 解：由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，焦點在x軸上，a²=4，b²=3，c²=a²-b²=1，左焦點為（-1，0）．
則過左焦點F，傾斜角為60°直線l的方程為y=$\sqrt{3}$（x+1）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²+8x=0，
則x₁+x₂=-$\frac{8}{5}$，x₁•x₂=0，
又y₁y₂=$\sqrt{3}$（x₁+1）•$\sqrt{3}$（x₂+1）=3x₁x₂+3（x₁+x₂）+3=-$\frac{9}{5}$，
根據(jù)弦長公式得：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16}{5}$，
且|AF||BF|=$\sqrt{（{x}_{1}+1）^{2}+{y}_{1}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{2}+1）^{2}+{y}_{2}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{\sqrt{3}}{y}_{1}）^{2}+{y}_{1}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{1}{\sqrt{3}}{y}_{2}）^{2}+{y}_{2}^{2}}$=$\frac{4}{3}$|y₁y₂|=$\frac{12}{5}$，
∴$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{丨BF丨+丨AF丨}{丨AF丨•丨BF丨}$=$\frac{丨AB丨}{丨AF丨丨BF丨}$=$\frac{4}{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．