Question

12．已知函數f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+cosx+a的最大值為1．
（1）求常數a的值；
（2）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）求f（x）≥0成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的公式化簡成為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據三角函數的性質可得a的值．
（2）將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區(qū)間上，解不等式得函數的單調遞增區(qū)間；
（3）根據三角函數的性質求解f（x）≥0成立的x的取值集合．

解答 解：（1）由題意：函數f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+cosx+a，
化簡得：f（x）=sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$+sinxcos$\frac{π}{6}$-cosxsin$\frac{π}{6}$+cosx+a
=$\sqrt{3}$sinx+cosx+a
=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+a
∵sin（x+$\frac{π}{6}$）的最大值為1，
∴f（x）=2×1+a=1
解得：a=-1．
所以函數f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
根據三角函數的性質可得：$x+\frac{π}{6}∈$[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]（k∈Z）是單調增區(qū)間．
即2kπ$-\frac{π}{2}$$≤x+\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，
解得：2kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為[2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）
（3）由題意：f（x）≥0，即2sin（x+$\frac{π}{6}$）-1≥0，
可得：sin（x+$\frac{π}{6}$）$≥\frac{1}{2}$．
∴2kπ+$\frac{π}{6}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，（k∈Z）．
解得：2kπ≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$．
所以f（x）≥0成立的x的取值范圍是{x|2kπ≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，（k∈Z）}．

點評 本題考查了三角函數的化簡negligence和計算能力，三角函數的性質的運用．屬于基礎題．