Question

1．已知$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（-π-α）}{3cos（2π+α）+cos（\frac{3π}{2}-α）}=3$．
（I）求$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$的值；
（II）若圓C的圓心在x軸上，圓心到直線y=tanα•x的距離為$2\sqrt{5}$且圓C被直線y=tanα•x所截弦長為8，求圓C的標準方程．

Answer 1

分析 （I）利用誘導公式對已知等式進行化簡得到$\frac{cosα+sinα}{3cosα-sinα}$=3，然后由同角三角函數關系求得tanα=2，代入所求的代數式進行求值；
（II）利用圓心，半徑（圓心到直線y=2x的距離為2$\sqrt{5}$）、半弦長、弦心距的勾股定理關系，求出圓心坐標，然后求出圓C的標準方程．

解答 解：（I）∵知$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（-π-α）}{3cos（2π+α）+cos（\frac{3π}{2}-α）}=3$，
∴$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（-π-α）}{3cos（2π+α）+cos（\frac{3π}{2}-α）}$=$\frac{cosα+sinα}{3cosα-sinα}$=3．
∴cosα+sinα=9cosα-3sinα，
∴tanα=2，
∴$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{tanα-3}{tanα+1}$=$\frac{2-3}{2+1}$=-$\frac{1}{3}$；
（II）設圓C的圓心坐標為（a，0），由圓心到直線y=2x的距離為2$\sqrt{5}$，
得$\frac{|2a|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，
∴a=±5．
又圓C被直線y=2x所截弦長為8，
故圓C的半徑r=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+{4}^{2}}$=6，
故圓C的標準方程為（x±5）²+y²=36．

點評 本題考查了同角三角函數基本關系的應用、點到直線的距離、直線與圓的關系，考查了同學們解決直線與圓問題的能力．