Question

6．已知函數(shù)f（x）=2alnx-x²+1（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若a＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值；
（Ⅲ）若f（x）≤0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，求a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論①當(dāng)$\sqrt{a}$≤1②當(dāng)$\sqrt{a}$＞1的情況，從而求出函數(shù)的最值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）≤f（1）=0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立；當(dāng)a＞1時(shí)，由于f（x）在區(qū)間[1，$\sqrt{a}$]上是增函數(shù)，從而得到a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-a）}{x}$，（x＞0），
a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得x₁＞$\sqrt{a}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{a}$，
故f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}-a）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）=0，由a＞0，解得x₁=$\sqrt{a}$，x₂=-$\sqrt{a}$（舍去），
①當(dāng)$\sqrt{a}$≤1，即0＜a≤1時(shí)，在區(qū)間[1，+∞）上f′（x）≤0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)．
所以 函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（1）=0；        
②當(dāng)$\sqrt{a}$＞1，即a＞1時(shí)，x在[1，+∞）上變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表

x	1	（1，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）		+	0	-
f（x）	0	↗	alna-a+1	↘

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（$\sqrt{a}$）=alna-a+1，
綜上所述：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（1）=0；
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為f（$\sqrt{a}$）=alna-a+1，
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）≤f（1）=0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立；
當(dāng)a＞1時(shí)，由于f（x）在區(qū)間[1，$\sqrt{a}$]上是增函數(shù)，
∴f（$\sqrt{a}$）＞f（1）=0，即在區(qū)間[1，+∞）上存在x=$\sqrt{a}$使得f（x）＞0．
綜上所述，a的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．