Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是奇函數(shù)，直線y=$\sqrt{2}$與函數(shù)f（x）的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$，則（　�。�

• A． f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）上單調(diào)遞減
• B． f（x）在（$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$）上單調(diào)遞減
• C． f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）上單調(diào)遞增
• D． f（x）在（$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$）上單調(diào)遞增

Answer 1

分析 利用輔助角化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ$+\frac{π}{4}$）是奇函數(shù)，可得φ$+\frac{π}{4}$=kπ，解出φ，直線y=$\sqrt{2}$與函數(shù)f（x）的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$，可得周期T=$\frac{π}{2}$，求出ω，可得f（x）的解析式，從而判斷各選項(xiàng)即可．

解答 解：化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ$+\frac{π}{4}$）
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴φ$+\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z．即φ=k$π-\frac{π}{4}$．
∵0＜φ＜π
∴φ=$\frac{3π}{4}$．
又∵直線y=$\sqrt{2}$與函數(shù)f（x）的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為$\frac{π}{2}$，
可得周期T=$\frac{π}{2}$，即$\frac{2π}{ω}=\frac{π}{2}$，
∴ω=4．
∴f（x）的解析式為f（x）=$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{3π}{4}$），
令2kπ$-\frac{π}{2}≤$4x+$\frac{3π}{4}$$≤\frac{π}{2}$+2kπ，單調(diào)遞增．
可得：$\frac{1}{2}kπ$$-\frac{5π}{16}≤x≤-\frac{π}{16}$+$\frac{1}{2}kπ$，k∈Z．
∴C選項(xiàng)對(duì)．D選項(xiàng)不對(duì)．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{3π}{4}$$≤\frac{3π}{2}$+2kπ，單調(diào)遞減．
可得：$\frac{1}{2}kπ$$-\frac{π}{16}≤x≤\frac{3π}{16}$$+\frac{1}{2}kπ$，k∈Z．
∴A，B選項(xiàng)不對(duì)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．