Question

13．用向量法證明以下各題：
（1）三角形三條中線共點(diǎn)；
（2）P是△ABC重心的充要條件是$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的三角形法則和共線原理證明其中兩中線的交點(diǎn)在第三條中線上即可；
（2）根據(jù)向量的共線原理證明P在三條中線上即可．

解答 （1）證明：在△ABC中，設(shè)D、E、F分別為BC、AC、AB的中點(diǎn)，BE與AD的交點(diǎn)為G，
設(shè)$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，則$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共線，
$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
設(shè)$\overrightarrow{BG}$=λ$\overrightarrow{BE}$，則$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{BG}$-$\overrightarrow{BA}$=λ$\overrightarrow{BE}$-$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{λ}{2}$-1）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{λ}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AD}$共線，∴$\frac{-1}{\frac{λ}{2}-1}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{λ}{2}}$，解得λ=$\frac{2}{3}$．
∴$\overrightarrow{CG}$=$\overrightarrow{BG}$-$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{CG}$．
∴CG與CF共線，G在CF上，
∴三角形三條中線交與一點(diǎn)．
（2）證明：設(shè)D、E、F分別為BC、AC、AB的中點(diǎn)，
①若P是△ABC的重心，∴AP=2PD，即$\overrightarrow{PA}$=-2$\overrightarrow{PD}$，
又D是BC的中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．
②若$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=-$\overrightarrow{PA}$．
又D是BC的中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，
∴$\overrightarrow{PA}=-2\overrightarrow{PD}$，即P在中線AD上，
同理可證P在中線BE上，P在CF上，
∴P是三角形的重心．
綜上，P是△ABC重心的充要條件是$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量在幾何證明中的應(yīng)用，屬于中檔題．