Question

19．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AA₁的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線AE∥平面BC₁D；
（Ⅱ）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，AB=2，AA₁=4，求點(diǎn)E到平面BC₁D的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)BC₁的中點(diǎn)為F，連接EF，DF，則EF是△BCC₁的中位線，證明：AE∥DF，即可證明直線AE∥平面BC₁D；
（Ⅱ）利用等體積方法，求點(diǎn)E到平面BC₁D的距離．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)BC₁的中點(diǎn)為F，連接EF，DF，則EF是△BCC₁的中位線，
根據(jù)已知得EF∥DA，且EF=DA，（2分）
∴四邊形ADFE是平行四邊形，所以AE∥DF，
∵DF?平面BDC₁，AE?平面BDC₁
∴直線AE∥平面BDC₁．（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）的結(jié)論可知直線AE∥平面BDC₁，
所以點(diǎn)E到平面BDC₁的距離等于點(diǎn)A到平面BDC₁的距離，設(shè)為h．
∴${V_{E-B{C_1}D}}={V_{A-B{C_1}D}}={V_{B-A{C_1}D}}$，（8分）
∴$\frac{1}{3}{S_{△B{C_1}D}}•h=\frac{1}{3}{S_{△A{C_1}D}}•\sqrt{3}$，（10分）
∴$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2\sqrt{5}•\sqrt{3}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•\sqrt{3}$，
所以解方程得，$h=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
所以點(diǎn)E到平面BDC₁的距離為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的判定，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．