Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，證明:；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）答案不唯一，見(jiàn)解析

【解析】

（1）將a＝0代入函數(shù)的表達(dá)式，求出，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到最大值是f（1）＜0即可；

（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值，進(jìn)而求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí),，求導(dǎo)得，

令＞0，解得：0＜x＜1，令＜0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

f（x）最大值＝f（1）＝﹣2+2ln1＝﹣2＜0，∴a＝0時(shí)，f（x）＜0；

（2）函數(shù)，，

當(dāng)時(shí),由（1）可得函數(shù)，沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng),即時(shí)，令得,或,得，

即函數(shù)的增區(qū)間為,，減區(qū)間為，而，

所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間沒(méi)有零點(diǎn),在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng),即時(shí),恒成立，即函數(shù)在上遞增，

而，時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng),即時(shí),令得,或,，得；

即函數(shù)的增區(qū)間為,,減區(qū)間為，

因?yàn)?/span>,所以，又時(shí)，，

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)在區(qū)間沒(méi)有零點(diǎn),在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn).

綜上：當(dāng)時(shí),沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn).