【題目】已知:在長方體中,,點是線段上的一個動點,則①的最小值等于__________;②直線與平面所成角的正切值的取值范圍為____________.
【答案】
【解析】
①將△AB1C與△D1B1C以公共邊B1C為鄰邊展開成一個平行四邊形,其對角線AD1的長度即為所求.
②P點在B1C上移動,它在平面ADD1上的射影H落在A1D上,此時PH是定值A1B1,只需研究AH的范圍即可.
長方體中,∵AB=1,AD=2,AA1=3,點P是線段B1C上的一個動點.
①由長方體的性質可知,,,.
將△AB1C與△D1CB1以B1C為公共邊展開成一平面四邊形AB1D1C,如圖:
易證四邊形AB1D1C是平行四邊形,所以當APD1三點共線時,即AP+D1P=AD1時最。
根據(jù)平行四邊形對角線和四條邊的性質即:,
代入數(shù)據(jù)得:,解得.
∴AP+D1P的最小值等于.
②由長方體的性質可知,對角面A1B1CD⊥平面ADD1A1,交線為A1D.
所以由點P向直線A1D作垂線PH,則PH⊥平面ADD1A1.
連接AH,則∠PAH即為直線PA與平面AA1D1D所成角.
顯然PH=AB=1為定值.
設Rt△A1AD斜邊上的高為h,則A1Dh=ADAA1,求得h,此時AH最短.
結合A1A=3,所以,
所以tan∠PAH.
故答案為:,.
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【題目】如圖,在四棱錐中,,,,,平面平面.
(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)在棱上是否存在一點E,使得二面角的大小為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線:的焦點為,拋物線上的點到準線的最小距離為2.
(1)求拋物線的方程;
(2)若過點作互相垂直的兩條直線,,與拋物線交于,兩點,與拋物線交于,兩點,,分別為弦,的中點,求的最小值.
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【題目】如圖,在三棱柱中,平面平面,四邊形是正方形,點,分別是棱,的中點,,,.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值;
(3)若點在棱上,且,判斷平面與平面是否平行,并說明理由.
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【題目】如圖,橢圓的長軸長為,點、、為橢圓上的三個點,為橢圓的右端點,過中心,且,.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設、是橢圓上位于直線同側的兩個動點(異于、),且滿足,試討論直線與直線斜率之間的關系,并求證直線的斜率為定值.
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【題目】已知橢圓方程為,左,右焦點分別為,上頂點為A,是面積為4的直角三角形.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過作直線與橢圓交于P,Q兩點,求面積的最大值.
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【題目】在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線,直線l的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),直線l與曲線C分別交于兩點.
(1)寫出曲線C和直線l的普通方程;
(2)若點,求的值.
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【題目】如圖,矩形中,,為邊的中點,將繞直線翻轉成(平面),為線段的中點,則在翻折過程中,①與平面垂直的直線必與直線垂直;②線段的長恒為③異面直線與所成角的正切值為④當三棱錐的體積最大時,三棱錐外接球的體積是.上面說法正確的所有序號是( )
A.①②④B.①③④C.②③D.①④
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