Question

11．已知平面內(nèi)一動點M與兩定點B₁（0，-1）和B₂（0，1）連線的斜率之積等于-$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程：
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m（m≠0）與軌跡E交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點P，當m變化時，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)M（x，y），則$\frac{y+1}{x}•\frac{y-1}{x}$=-$\frac{1}{2}$，化簡即可求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）直線y=x+m代入橢圓方程，求出|AB|，|MP|，可得△PAB的面積，配方，即可求出三角形面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），則$\frac{y+1}{x}•\frac{y-1}{x}$=-$\frac{1}{2}$，化簡為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1（x≠0）；
（Ⅱ）y=x+m代入橢圓方程，消去y得3x²+4mx+2m²-2=0
∵直線l與橢圓有兩個交點，
∴△＞0，可得m²＜3（*）--
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
∴弦長|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\sqrt{6-2{m}^{2}}$，
AB中點M（-$\frac{2m}{3}$，$\frac{m}{3}$），設(shè)P（x，0），∴k_AB•k_MP=-1，
∴$\frac{\frac{m}{3}}{-\frac{2m}{3}-x}$•1=-1，
∴x=-$\frac{m}{3}$，
∴P（-$\frac{m}{3}$，0），|PM|=$\frac{\sqrt{2}|m|}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|AB||MP|=$\frac{2}{9}\sqrt{-2（{m}^{2}-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{2}}$
∵m²＜3，∴m²=$\frac{3}{2}$時，S_max=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 待定系數(shù)法是解決橢圓標準方程的關(guān)鍵，直線與圓錐曲線聯(lián)立，是解決弦長問題的常用方法．