Question

11．已知函數(shù)f（x）=ln（2x+a）-e^2x-1．
（1）若函數(shù)f（x）在x=$\frac{1}{2}$處取得極值，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a≤1時，f（x）＜0，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），得到f′（$\frac{1}{2}$）=0，解出a，利用導數(shù)的正負，即可求f（x）的單調區(qū)間；
（2）由于a≤1，所以ln（2x+a）≤ln（2x+1），所以f（x）≤ln（2x+1）-e^2x-1，利用對任意x$＞-\frac{1}{2}$，ln（2x+1）-e^2x-1＜0，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2}{2x+a}$-2e^2x-1，由已知得 f′（$\frac{1}{2}$）=0，即：$\frac{1}{1+a}$-1=0，
所以a=0，…（1分）
所以f（x）=ln2x-e^2x-1，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$-2e^2x-1，…（2分）
由于f′（x） 在（0，+∞）上為減函數(shù)，而f′（$\frac{1}{2}$）=0，所以當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f′（x）＞0；
當x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，f′（x）＜0，
所以f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），單調遞減區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞）．（5分）
（2）由于a≤1，所以ln（2x+a）≤ln（2x+1），所以f（x）≤ln（2x+1）-e^2x-1，…（6分）
令g（x）=ln（2x+1）-2x（x＞-$\frac{1}{2}$），則g′（x）=$\frac{-4x}{2x+1}$，
所以，當-$\frac{1}{2}$＜x＜0時，g′（x）＞0，當x＞0時，g′（x）＜0，
所以g（x）≤g（0）=0，即：ln（2x+1）≤2x           …（8分）
令h（x）=e^2x-1-2x，則h′（x）=2（ e^2x-1-1），
所以，當x$＞\frac{1}{2}$時，h′（x）＞0，當-$\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}$時，h′（x）＜0，
所以h（x）≥h（$\frac{1}{2}$），即：e^2x-1≥2x．…（10分）
所以，對任意x$＞-\frac{1}{2}$，ln（2x+1）-e^2x-1＜0，
因此，當a≤1時，對任意x＞-$\frac{a}{2}$，ln（2x+1）-e^2x-1＜0，所以x的取值范圍為（-$\frac{a}{2}$，+∞）       …（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性，考查導數(shù)知識的綜合運用，考查學生轉化問題的能力，屬于中檔題．