【題目】已知圓，過(guò)點(diǎn)作的異于軸的切線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作的異于軸的切線(xiàn).設(shè)與交于點(diǎn)，記的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）已知，在點(diǎn)處的切線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與平行的直線(xiàn)交于點(diǎn).證明：以為直徑的圓截軸的弦長(zhǎng)為定值.

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）由切線(xiàn)長(zhǎng)定理結(jié)合題意得，由橢圓性質(zhì)可得點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即可得解；

（2）設(shè)直線(xiàn)，，聯(lián)立方程可得點(diǎn)，進(jìn)而可得直線(xiàn)的方程為，求得點(diǎn)、的坐標(biāo)后，再求圓的方程即可得解.

（1）

如圖，設(shè)兩直線(xiàn)與圓的切點(diǎn)分別為M、N，設(shè)圓與x軸的交點(diǎn)為Q，

由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得，，，

所以，

所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，

所以，，所以，

所以的軌跡方程是.

（2）設(shè)直線(xiàn)，，

將代入得

，

，化簡(jiǎn)得.

，

，所以，

從而，

所以直線(xiàn)的方程為，

令得，所以.

易得，

所以以為直徑的圓是，

令得，

所以以為直徑的圓截軸所得的弦長(zhǎng)為4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】到2020年，我國(guó)將全面建立起新的高考制度，新高考采用模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科為必考科目，滿(mǎn)分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專(zhuān)業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣、愛(ài)好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門(mén)科目中自選3門(mén)（6選3）參加考試，滿(mǎn)分各100分.為了順利迎接新高考改革，某學(xué)校采用分層抽樣的方法從高一年級(jí)1000名（其中男生550名，女生450名）學(xué)生中抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.

（1）已知抽取的名學(xué)生中有女生45名，求的值及抽取的男生的人數(shù).

（2）該校計(jì)劃在高一上學(xué)期開(kāi)設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個(gè)科目，為了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況，對(duì)在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目，且只能選擇一個(gè)科目），得到如下列聯(lián)表.

選擇“物理”

選擇“地理”

總計(jì)

男生

10

女生

25

總計(jì)

（i）請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)系.

（ii）在抽取的選擇“地理”的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取6名，再?gòu)倪@6名學(xué)生中抽取2名，求這2名中至少有1名男生的概率.

附：，其中.

0.05

0.01

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcosθρsinθ2=0.

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的公共點(diǎn)為P,Q,求|PQ|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】坐標(biāo)系與參數(shù)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，且點(diǎn)在直線(xiàn)上

（Ⅰ）求的值和直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程及的參數(shù)方程；

（Ⅱ）已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，求的值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】天干地支，簡(jiǎn)稱(chēng)為干支，源自中國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)代對(duì)天象的觀測(cè).“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱(chēng)為十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱(chēng)為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成，以此往復(fù)，60年為一個(gè)輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個(gè)年份中任取2個(gè)年份，則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，是的中點(diǎn)，在邊上，.

（1）證明：平面平面；

（2）若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面.

①在答題卡中作出點(diǎn)的軌跡，并說(shuō)明軌跡的形狀（不需要說(shuō)明理由）；

②求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說(shuō)法中正確的是______.

①2至3月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同；

②支出最高值與支出最低值的比是6:1；

③第三季度平均收入為50萬(wàn)元；

④利潤(rùn)最高的月份是2月份。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】渭南市公安局交警支隊(duì)依據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第條規(guī)定：渭南城區(qū)所有主干道路凡機(jī)動(dòng)車(chē)途經(jīng)十字口或斑馬線(xiàn)，無(wú)論轉(zhuǎn)彎或者直行，遇有行人過(guò)馬路，必須禮讓行人.違反者將被處以元罰款，記分的行政處罰.下表是渭南市一主干路段，監(jiān)控設(shè)備所抓拍的個(gè)月內(nèi)，機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員不“禮讓斑馬線(xiàn)”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

月份

違章駕駛員人數(shù)

（1）請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線(xiàn)方程；

（2）預(yù)測(cè)該路月份的不“禮讓斑馬線(xiàn)”違章駕駛員人數(shù)；

（3）若從表中、月份分別抽取人和人，然后再?gòu)闹腥芜x人進(jìn)行交規(guī)調(diào)查，求拍到的兩人恰好來(lái)自同一月份的概率.

參考公式：，.

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