Question

18．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（2）=-1，f（-1）=-1，且f（x）的最大值為8．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）求x∈[m，3]（m＜3）時(shí)函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出二次函數(shù)的解析式，代入坐標(biāo)求解a即可得到二次函數(shù)的解析式．
（2）利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸以及性質(zhì)求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）由題意二次函數(shù)f（x）滿足f（2）=-1，f（-1）=-1，
可知二次函數(shù)可設(shè)為$f（x）=-a{（x-\frac{1}{2}）^2}$+8，把f（2）=1代入
可解得a=4，所以$f（x）=-4{（x-\frac{1}{2}）^2}+8=-4{x^2}$+4x+7
（2）當(dāng)m≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）的左端點(diǎn)離對(duì)稱軸x=$\frac{1}{2}$遠(yuǎn)，
所以f（x）_min=f（m）=-4m²+4m+7；
當(dāng)3≥m＞2時(shí)，函數(shù)f（x）的右端點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，
所以f（x）_min=f（3）=-17；
所以f（x）_min=$\left\{{\begin{array}{l}{-4{m^2}+4m+7，m≤-2}\\{-17，2＜m≤3}\end{array}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．