Question

14．在等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中，a₁=b₁=2，a₂=b₂=2+b，S_n是{b_n}前n項(xiàng)和．
（1）若$\underset{lim}{n→∞}$S_n=3-b，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若b=3，設(shè)c_n=（-1）ⁿ⁺¹•a_n•a_n+1，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在這樣的實(shí)數(shù)t，使得對于所有的n都有T_n≥tn²成立，若存在，求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）是否存在正實(shí)數(shù)b，使得數(shù)列{b_n}中至少有三項(xiàng)在數(shù)列{a_n}中，但{b_n}中的項(xiàng)不都在數(shù)列{a_n}中，若存在，求出一個(gè)可能的b的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）公比為$\frac{_{2}}{_{1}}$=$\frac{2+b}{2}$，利用$\underset{lim}{n→∞}$S_n=3-b=$\frac{2}{1-\frac{2+b}{2}}$，解得b，利用0＜|q|＜1，即可得出．
（2）b=3時(shí)，a₂=5，公差d=3．可得a_n=3n-1；c_n=（-1）ⁿ⁺¹（3n-1）（3n+2），c_2k-1+c_2k=-6（6k-1）．對n分類討論，n為偶數(shù)2k（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=T_2k=-18k²-12k=-$\frac{9{n}^{2}}{2}$-6n．n為奇數(shù)2k-1（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=T_n-1+c_n．假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)t，使得對于所有的n都有T_n≥tn²成立，t$≤\frac{{T}_{n}}{{n}^{2}}$，進(jìn)而得出．
（3）由題意可得：由b₁，b₂在數(shù)列{a_n}中，所以{b_n}至少存在一項(xiàng)b_m（m≥3）．在數(shù)列{a_n}中，另一項(xiàng)b_t（t≠m）不在數(shù)列{a_n}中．由b_m=a_k，可得$2（1+\frac{2}）^{m-1}$=2+（k-1）b，取m=4，可得2$（1+\frac{2}）^{3}$=2+（k-1）b，取k=4，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：（1）公比為$\frac{_{2}}{_{1}}$=$\frac{2+b}{2}$，∴$\underset{lim}{n→∞}$S_n=3-b=$\frac{2}{1-\frac{2+b}{2}}$，解得b=-1或4．
∵0＜|q|＜1，∴b=-1．
（2）b=3時(shí)，a₂=5，公差d=5-2=3．∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
c_n=（-1）ⁿ⁺¹•a_n•a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹（3n-1）（3n+2）．
∴c_2k-1+c_2k=-6（6k-1）．
n為偶數(shù)2k（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=T_2k=-6×$\frac{k（5+6k-1）}{2}$=-3k（6k+4）=-18k²-12k=-$\frac{9{n}^{2}}{2}$-6n．
n為奇數(shù)2k-1（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n=T_n-1+c_n=$-\frac{9}{2}（n-1）^{2}$-6（n-1）+（3n-1）（3n+2）=$\frac{9}{2}{n}^{2}$+6n-$\frac{1}{2}$．
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)t，使得對于所有的n都有T_n≥tn²成立，
n為偶數(shù)2k（k∈N^*）時(shí)，t≤$\frac{-\frac{9}{2}{n}^{2}-6n}{{n}^{2}}$=-$\frac{9}{2}$-$\frac{6}{n}$，可得t≤-$\frac{15}{2}$．
n為奇數(shù)2k-1（k∈N^*）時(shí)，t≤$\frac{\frac{9}{2}{n}^{2}+6n-\frac{1}{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{9}{2}$+$\frac{6}{n}$-$\frac{1}{2{n}^{2}}$，可得t≤10，
綜上可得存在t$≤-\frac{15}{2}$，使得對于所有的n都有T_n≥tn²成立．
（3）由題意可得：∵b₁，b₂在數(shù)列{a_n}中，所以{b_n}至少存在一項(xiàng)b_m（m≥3）．
在數(shù)列{a_n}中，另一項(xiàng)b_t（t≠m）不在數(shù)列{a_n}中．由b_m=a_k，可得$2（1+\frac{2}）^{m-1}$=2+（k-1）b，
取m=4，可得2$（1+\frac{2}）^{3}$=2+（k-1）b，即（b+2）²=4（k-2），取k=4，可得b=2$\sqrt{2}$-2，b₄=4$\sqrt{2}$．當(dāng)b=2$\sqrt{2}$-2，b₃=4，
a_n=2+（n-1）×$（2\sqrt{2}-2）$，對于任意n，a_n≠b₃．綜上，取b=2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．