分析 (1)利用向量的數(shù)量積公式,結(jié)合二倍角、輔助角公式,根據(jù)函數(shù)f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心與它相鄰的一條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為$\frac{π}{4}$,即可求函數(shù)f(x)的解析式.
(2)根據(jù)圖象的平移和正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
解答 解:(1)$f(x)=\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx+\frac{cos2ωx+1}{2}-\frac{1}{2}$.
由題意知f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{ω}$=π,所以ω=1,
所以f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$).
(2)將f(x)的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后,得到y(tǒng)=sin[2(x-$\frac{π}{4}$)+$\frac{π}{4}$]=sin(2x-$\frac{π}{3}$)
的圖象,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$,縱坐標(biāo)不變,得到$y=sin(4x-\frac{π}{3})$的圖象,
所以g(x)=sin(4x-$\frac{π}{3}$),
因?yàn)?0≤x≤\frac{π}{4}$,所以$-\frac{π}{3}≤4x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$.由正弦函數(shù)的圖象得可知$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤g(x)≤1$.
所以g(x)在區(qū)間$[0,\frac{π}{4}]$上最大值為1和最小值為$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,周期公式,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
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