Question

3．已知3sin²α+2sin²β=1，3sin2α-2sin2β=0，且α、β都是銳角，則α+2β的值為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． π
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinα的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sin（α+2β）的值，結(jié)合角α+2β的范圍即可得解．

解答 解：由3sin²α+2sin²β=1，得：3sin²α=cos2β．
由3sin2α-2sin2β=0，得：sin2β=$\frac{3}{2}$sin2α=3sinαcosα．
∴sin²2β+cos²2β=9sin²αcos²α+9sin⁴α
∴9sin²α=1．
∴sinα=$\frac{1}{3}$（α為銳角）
∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin²α）+cosα（3sinαcosα）=3sinα（sin²α+cos²α）=3sinα=1，
∵α+2β∈（0，$\frac{3π}{2}$），
∴α+2β=$\frac{π}{2}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用以及二倍角公式，解題的關(guān)鍵是求出sin（α+2β），屬于基礎(chǔ)題．