Question

9．函數(shù)f（x）=-x³+3x²-ax-2a，若存在唯一的正整數(shù)x₀，使得f（x₀）＞0，則a的取值范圍是$[\frac{2}{3}，1）$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)g（x）=-x³+3x²、h（x）=a（x+2），求出g′（x）并化簡，由導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷出g（x）的單調(diào)性、并求出特殊函數(shù)值，在同一個坐標系中畫出它們的圖象，結(jié)合條件由圖象列出滿足條件的不等式組，即可求出a的取值范圍．

解答 解：由題意設(shè)g（x）=-x³+3x²，h（x）=a（x+2），
則g′（x）=-3x²+6x=-3x（x-2），
所以g（x）在（-∞，0）、（2，+∞）上遞減，在（0，2）上遞增，
且g（0）=g（3）=0，g（2）=-2³+3•2²=4，
在一個坐標系中畫出兩個函數(shù)圖象如圖：
因為存在唯一的正整數(shù)x₀，使得f（x₀）＞0，
即g（x₀）＞h（x₀），
所以由圖得x₀=2，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{g（2）＞h（2）}\\{g（1）≤h（1）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4＞4a}\\{-1+3≤3a}\end{array}\right.$，
解得23≤a＜1，
所以a的取值范圍是$[\frac{2}{3}，1）$，
故答案為：$[\frac{2}{3}，1）$．

點評 本題考查了函數(shù)圖象以及不等式整數(shù)解問題，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點問題，考查轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想．