Question

10．已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-4$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推公式即可得出．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-4$
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-4-[{\frac{1}{2}{{（{n-1}）}^2}-\frac{3}{2}（{n-1}）-4}]$
=n+1．
當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}={S_1}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-4=-2$，不滿足a_n=n+1．
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-2，\;\;\;\;\;\;n=1}\\{n+1，\;\;\;\;n≥2}\end{array}}\right.$．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$．
當(dāng)n=1時(shí)，${b_1}=\frac{1}{{{a_1}{a_3}}}=\frac{1}{-2×4}=-\frac{1}{8}$，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n-1+b_n
=-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$
=$\frac{1}{6}$-$\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$．

點(diǎn)評 本題考査了利用遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．