Question

5．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}公差為d，
∵a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，
∴${a_3}^2={a_1}{a_9}$，
∴（1+2d）²=1×（1+8d）．
∴d=0（舍）或d=1，
∴a_n=n．
（2）令${b_n}={2^{a_n}}+n={2^n}+n$；
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2¹+1）+（2²+2）+（2³+3）+…+（2ⁿ+n）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）+（1+2+3+…+n）
=$\frac{{2（{1-{2^n}}）}}{1-2}+\frac{n（n+1）}{2}$=${2^{n+1}}-2+\frac{n（n+1）}{2}$，
${S_n}={2^{n+1}}-2+\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考査了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．