Question

12．已知函數(shù)f（x）=（x²-3）e^x，設(shè)關(guān)于x的方程f²（x）-af（x）=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為a＞$\frac{6}{{e}^{3}}$或a=-2e．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，計(jì)算f（x）的極值，作出f（x）的圖象，根據(jù)f（x）=0的根的個(gè)數(shù)判斷f（x）=a的根的個(gè)數(shù)，從而得出a的范圍．

解答 解：f′（x）=2x•e^x+（x²-3）e^x=e^x（x²+2x-3），
令f′（x）=0得x=1或x=-3，
∴當(dāng)x＜-3或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-3）上單調(diào)遞增，在（-3，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）取得極大值$\frac{6}{{e}^{3}}$，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值-2e，
作出f（x）的函數(shù)圖形如圖所示：

由f²（x）-af（x）=0得f（x）=0或f（x）=a，
由圖象可知f（x）=0有兩解，∴f（x）=a只有一解，
∴a＞$\frac{6}{{e}^{3}}$或a=-2e．
故答案為：a＞$\frac{6}{{e}^{3}}$或a=-2e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程根與函數(shù)圖形的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的判定與極值計(jì)算，屬于中檔題．