【題目】已知函數(shù)f(x)=(2-a)lnx++2ax.

(1)當(dāng)a<0時,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若對任意的a∈(-3,-2),x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln 3)a-2ln 3>|f(x1)-f(x2)|成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)見解析(2) (-∞,- ].

【解析】試題分析:(1)對原函數(shù)求導(dǎo),f′(x),分a=-2,-2<a<0,a<2,三種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負,得原函數(shù)的單調(diào)性;(2)根據(jù)第一問知道當(dāng)a(3,-2)時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減故得到f(x)maxf(1)12a,f(x)minf(3)(2a)ln 36a,問題等價于am>4a,m<4,m≤(4)min。

解析:

(1)求導(dǎo)可得f′(x)=+2a=,

令f′(x)=0,得x1,x2=-,

當(dāng)a=-2時,f′(x)≤0,函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)-2<a<0時,在區(qū)間(0, ),(-,+∞)上f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,在區(qū)間(,- )上f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)a<-2時,在區(qū)間(0,- ),(,+∞)上f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-, )上f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

(2)由(1)知當(dāng)a∈(-3,-2)時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x∈[1,3]時,f(x)max=f(1)=1+2a,f(x)min=f(3)=(2-a)ln 3++6a.

問題等價于:對任意的a∈(-3,-2),恒有(m+ln 3)a-2ln 3>1+2a-(2-a)ln 3--6a成立,即am>-4a,

因為a<0,所以m<-4,

因為a∈(-3,-2),

所以只需m≤(-4)min,

所以實數(shù)m的取值范圍為(-∞,- ].

練習(xí)冊系列答案
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甲校:

乙校:

(1)計算的值;

(2)若規(guī)定考試成績在內(nèi)為優(yōu)秀,請根據(jù)樣本估計乙校數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率;

(3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異.

附: .

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②函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

③函數(shù)yf(x)在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞增;

④當(dāng)x2時,函數(shù)yf(x)有極小值;

⑤當(dāng)x時,函數(shù)yf(x)有極大值.

則上述判斷中正確的是(  )

A. ①② B. ②③

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