Question

2．函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+3，若函數(shù)g（x）=f（x）-m在R上有3個零點，則m的取值范圍為（-24，8）．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m有3個交點，可得m的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+3，∴f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），故函數(shù)f（x）的極值點為x=3、x=-1
在（-∞，-1）、（3，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；在（-1，3 ）上，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值為8，當(dāng)x=3時，函數(shù)f（x）取得極小值為-24．
函數(shù)g（x）=f（x）-m在R上有3個零點，即函數(shù)f（x）的圖象和直線y=m有3個交點，
故m的范圍為（-24，8），
故答案為：（-24，8）．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，屬于中檔題．