Question

12．已知定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（x+2），當x∈[0，2）時，f（x）=-2x²+4x．設(shè)f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n（n∈N^*），且數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S_n=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），從而f（x+2n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$f（x），利用當x∈[0，2）時，f（x）=-2x²+4x，可求（x）在[2n-2，2n）上的解析式，從而可得f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n，進而利用等比數(shù)列的求和公式，即可求得{a_n}的前n項和．

解答 解：∵定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（x+2），
∴f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），
∴f（x+4）=$\frac{1}{2}$f（x+2）=$\frac{1}{4}$f（x），
f（x+6）=$\frac{1}{2}$f（x+4）=$\frac{1}{8}$f（x），
…
f（x+2n）=$\frac{1}{{2}^{n}}$f（x）
設(shè)x∈[2n-2，2n），則x-（2n-2）∈[0，2）
∵當x∈[0，2）時，f（x）=-2x²+4x．
∴f[x-（2n-2）]=-2[（x-（2n-2）]²+4[x-（2n-2）]．
∴$\frac{1}{{2}^{1-n}}$f（x）=-2（x-2n+1）²+2
∴f（x）=2^1-n[-2（x-2n+1）²+2]，x∈[2n-2，2n），
∴x=2n-1時，f（x）的最大值為2^2-n
∴a_n=2^2-n
∴{a_n}表示以2為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列
∴{a_n}的前n項和為S_n=$\frac{2[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
故答案為：4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．