Question

2．圓錐曲線C的極坐標方程為：ρ²（1+sin²θ）=2．
（1）以極點為原點，極軸為x軸非負半軸建立平面直角坐標系，求曲線C的直角坐標方程，并求曲線C在直角坐標系下的焦點坐標以及在極坐標系下的焦點坐標；
（2）直線l的極坐標方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），若曲線C上的點M到直線l的距離最大，求點M的坐標（直角坐標和極坐標均可）．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式可得直角坐標方程，進而得到焦點的直角坐標與極坐標．
（2）直線l的極坐標方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），可得直線l的直角坐標方程為y=$\sqrt{3}x$，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（0≤θ＜2π），設M（$\sqrt{2}cosθ，sinθ$），利用點到直線的距離公式可得：M到直線的距離d，再利用三角函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）∵圓錐曲線C的極坐標方程為：ρ²（1+sin²θ）=2，
∴曲線C的直角坐標方程：x²+y²+y²=2，化為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
焦點直角坐標：F₁（-1，0），F₂（1，0）
焦點極坐標：F₁（1，π），F₂（1，0）．
（2）∵直線l的極坐標方程為β=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），
∴直線l的直角坐標方程為y=$\sqrt{3}x$，
曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（0≤θ＜2π），
設M（$\sqrt{2}cosθ，sinθ$），
則M到直線的距離d=$\frac{|\sqrt{6}cosθ-sinθ|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{|\sqrt{7}sin（θ+α）|}{2}$，
∴sin（θ+α）=1時，曲線C上的點M到直線l的距離最大，
此時解得 sinθ=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，cosθ=-$\frac{2\sqrt{21}}{7}$；sinθ=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
$M（\frac{{2\sqrt{21}}}{7}，-\frac{{\sqrt{7}}}{7}）$或$M（-\frac{{2\sqrt{21}}}{7}，\frac{{\sqrt{7}}}{7}）$

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、橢圓的標準方程及其性質、點到直線的距離公式、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．