Question

17．將三項式（x²+x+1）ⁿ展開，當n=1，2，3，…時，得到如下所示的展開式，如圖所示的廣義楊輝三角形：
（x²+x+1）⁰=1
（x²+x+1）¹=x²+x+1
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1
（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1
觀察多項式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角形構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法：第0行為1，以下各行每個數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)（不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計為0）之和，第k行共有2k+1個數(shù)．若在（a+x）（x²+x+1）⁴的展開式中，x⁶項的系數(shù)為46，則實數(shù)a的值為3．

Answer 1

分析 由題意可得廣義楊輝三角形第第4行   1 4 10 16 19 16 10 4 1
，所以（a+x）（x²+x+1）⁴的展開式中，x⁶項的系數(shù)為16+10a=46，即可求出實數(shù)a的值

解答 解：∵（x²+x+1）⁴=x⁸+4x⁷+10x⁶+16x⁵+19x⁴+16x³+10x²+4x+1第4行   1 4 10 16 19 16 10 4 1
若在（a+x）（x²+x+1）⁴的展開式中，x⁶項的系數(shù)為46，即10a+16=46，∴a=3
故答案為：3

點評 題考查二項式定理的運用以及歸納推理，解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)所給等式的系數(shù)變化的規(guī)律．