【題目】排成一排的10名學生生日的月份均不相同.有名教師，依次挑選這些學生參加個興趣小組，每名學生恰被一名教師挑選，且保持學生的排序不變，每名教師挑出的學生必須滿足生日的月份是逐漸增加或逐漸減少的（挑選一名或兩名學生也認為是逐漸增加或逐漸減少的），每名教師盡可能多地選學生.對于學生所有可能的排序，求的最小值.

【答案】4

【解析】

若，不妨設這10名學生生日的月份分別為.

當學生按生日排序為4,3,2,1,7,6,5,9,8,10時，存在一名教師至少要挑選前四名學生中的兩名，由于這兩名學生生日的月份是逐漸減少的，且后六名學生生日的月份均大于前四名學生生日的月份，因此，這名教師不可能再挑選后六名學生；在余下的不超過兩名教師中，一定存在一名教師至少要挑選第五名至第七名學生中的兩名.同理，這名教師不可能再挑選后三名學生；余下的不超過一名教師也不可能挑選后三名學生，矛盾.

下面證明：對于互不相同的有序?qū)崝?shù)列，當時，一定存在三個數(shù)滿足或.

設最大數(shù)、最小數(shù)分別為、.

不妨設.

若，則滿足；.

因為，所以，要么在的前面，要么在的后面至少有兩個數(shù).

不妨設在的后面有兩個數(shù).從而，與中一定有一個成立.

引用上面的結論，當時，第一名教師至少可以挑選3名學生；若余下的學生大于或等于5名，則第二名教師也至少可以挑選3名學生；這時，剩下的學生的數(shù)目不超過4名，可以被兩名教師全部挑選.

因此，的最小值為4.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間.

（2）試問：是否存在實數(shù)，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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【題目】某品牌手機廠商推出新款的旗艦機型，并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機上市時間（第周）和市場占有率（）的幾組相關數(shù)據(jù)如下表：

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；

（2）根據(jù)上述線性回歸方程，預測在第幾周，該款旗艦機型市場占有率將首次超過（最后結果精確到整數(shù)）．

參考公式：，．

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【題目】對于正整數(shù)集合，如果任意去掉其中一個元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合，且這兩個集合的所有元素之和相等，就稱集合為“可分集合”.

（1）判斷集合和是否是“可分集合”（不必寫過程）；

（2）求證：五個元素的集合一定不是“可分集合”；

（3）若集合是“可分集合”.

①證明：為奇數(shù)；

②求集合中元素個數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求的最大值；

（2）若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值；

（3）設函數(shù)，若對任意，存在，使得，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知公差不等于的正項等差數(shù)列的前項和為，遞增等比數(shù)列的前項和為，，，，.

（1）求滿足，的的最小值；

（2）求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖橢圓的離心率為， 其左頂點在圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓的另一個交點為，與圓的另一個交點為.是否存在直線，使得？ 若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，AB＝AD，E是線段PD上的點，F是線段AB上的點，

且．

(1)證明：EF∥平面PBC；

(2)是否存在實數(shù)λ，使得異面直線EF與CD所成角為60°？若存在，試求出λ的值，若不存在，請說明理由．

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