Question

16．在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點，過F₁且與x軸垂直的直線與橢圓交于B，C兩點，且∠BF₂C=90°，則該橢圓的離心率是$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 先求出 BF₁ 的長，利用∠BF₂C=90°，建立方程，然后求解方程求出離心率的值

解答 解：由已知可得，BF₁=$\frac{^{2}}{a}$，過F₁且與x軸垂直的直線與橢圓交于B，C兩點，且∠BF₂C=90°，可得：2c=$\frac{^{2}}{a}$
即：2ca=a²-c²
可得e²+2e-1=0，
∵0＜e＜1
∴e=$\sqrt{2}-1$．
故答案為：$\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，解方程求離心率的大�。�