Question

2．已知A∈α，AB=5，$AC=2\sqrt{2}$，且AB與α所成角的正弦值為$\frac{4}{5}$，AC與α所成的角為45°，點B，C在平面α同側(cè)，則BC長的范圍為（　�。�

• A． $[5-2\sqrt{2}，5+2\sqrt{2}]$
• B． $[\sqrt{5}，\sqrt{29}]$
• C． $[\sqrt{5}，\sqrt{61}]$
• D． $[\sqrt{29}，\sqrt{61}]$

Answer 1

分析 如圖所示，sinα=$\frac{4}{5}$，α為銳角，可得cos$α=\frac{3}{5}$．分別計算$cos（α+\frac{3π}{4}）$，cos$（α-\frac{π}{4}）$．當(dāng)三點A，B，C在同一個平面時，BC分別取得最大值與最小值．

解答 解：如圖所示，
∵sinα=$\frac{4}{5}$，α為銳角，∴cos$α=\frac{3}{5}$．
∴$cos（α+\frac{3π}{4}）$=$\frac{3}{5}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）$-$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
cos$（α-\frac{π}{4}）$=$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
當(dāng)三點A，B，C在同一個平面時，BC分別取得最大值與最小值．
最大值=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{5}^{2}-2×2\sqrt{2}×5cos（π-α-\frac{π}{4}）}$=$\sqrt{61}$，
最小值=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{5}^{2}-2×2\sqrt{2}×5×\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=$\sqrt{5}$．
∴BC長的范圍為$[\sqrt{5}，\sqrt{61}]$．
故選：C．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、余弦定理、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．