Question

6．已知函數(shù)$f（x）=2sinxcosx+\sqrt{3}cos2x+2$．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$上，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（1）$f（x）=2sinxcosx+\sqrt{3}cos2x+2=sin2x+\sqrt{3}cos2x+2=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+2$
設(shè)$z=2x+\frac{π}{3}$，則y=sinz+2的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ}]（{k∈z}）$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，（{k∈z}）$，
解得$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ，（{k∈z}）$
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]（{k∈Z}）$；
（2）由（1）$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{3}}）+2$，
∵$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$，
∴$2x+\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，π}]$；
∴$sin（{2x+\frac{π}{3}}）∈[{2-\sqrt{3}，4}]$，
∴$f{（x）_{max}}=4，f{（x）_{min}}=2-\sqrt{3}$
故得函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}}]$上的最小值為$2-\sqrt{3}$，最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．