Question

14．已知拋物線(xiàn)：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（m，2）（m＞1）是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|AF|=$\frac{5}{2}$．
（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）已知M（-2，0），N（2，0），過(guò)N的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于C，D兩點(diǎn)，若S_△MCD=16，求直線(xiàn)CD的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，m+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{2}$，4=2pm，可得p=1，m=2，即可得出拋物線(xiàn)的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)CD的方程為x=my+2，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答 解：（1）由題意，m+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{2}$，4=2pm，可得p=1，m=2，
∴拋物線(xiàn)的方程為y²=2x；
（2）設(shè)直線(xiàn)CD的方程為x=my+2，代入y²=2x，可得y²-2my-4=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4．
∴S_△MCD=$\frac{1}{2}×4×$|y₁-y₂|=2$\sqrt{4{m}^{2}+16}$=16，
∴m=±2$\sqrt{3}$，
∴直線(xiàn)CD的方程為x=$±2\sqrt{3}$y+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的方程與性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．