Question

5．在直角坐標(biāo)xOy中，圓C₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），并以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）寫(xiě)出C₁的極坐標(biāo)方程，并將C₂化為普通方程；
（2）若直線C₃的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），C₂與C₃相交于A，B兩點(diǎn)，求△ABC₁的面積（C₁為圓C₁的圓心）．

Answer 1

分析 （1）圓C₁轉(zhuǎn)化為${x}^{2}+{y}^{2}+2\sqrt{3}x-1=0$，由此能求出C₁的極坐標(biāo)方程，曲線C₂的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出C₂的普通方程．
（2）求出直線C₃的直角坐標(biāo)方程為y=$\sqrt{3}x$，由題意知C₂與C₃交于坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)A，O重合，分別求出|AB|=2，|AC₁|=$\sqrt{3}$，∠BAC₁=120°，由此能求出△ABC₁的面積．

解答 解：（1）∵圓C₁：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=4，
即${x}^{2}+{y}^{2}+2\sqrt{3}x-1=0$，
∴C₁的極坐標(biāo)方程為${ρ}^{2}+2\sqrt{3}ρcosθ-1=0$，
∵曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴C₂的普通方程為：（x-2）²+y²=4．
（2）∵直線C₃的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{3}$（ρ∈R），
∴直線C₃的直角坐標(biāo)方程為y=$\sqrt{3}x$，
由題意知C₂與C₃交于坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)A，O重合，
∴|AB|=2，|AC₁|=$\sqrt{3}$，∠BAC₁=120°，
∴△ABC₁的面積（C₁為圓C₁的圓心）：
${S}_{△AB{C}_{1}}=\frac{1}{2}|AB|×|A{C}_{1}|sin120$°=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的參數(shù)方程、普通方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．