Question

17．若函數(shù)f（x）=（x²-ax+a+1）e^x（a∈N）在區(qū)間（1，3）只有1個(gè)極值點(diǎn)，則曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處切線的方程為x-y+6=0．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）•f′（3）＜0，得到關(guān)于a的不等式，求出a的值，從而計(jì)算f（0），f′（0）的值，求出切線方程即可．

解答 解：f′（x）=e^x[x²+（2-a）x+1]，
若f（x）在（1，3）只有1個(gè)極值點(diǎn)，
則f′（1）•f′（3）＜0，
即（a-4）（3a-16）＜0，
解得：4＜a＜$\frac{16}{3}$，a∈N，
故a=5；
故f（x）=e^x（x²-5x+6），f′（x）=e^x（x²-3x+1），
故f（0）=6，f′（0）=1，
故切線方程是：y-6=x，
故答案為：x-y+6=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及求曲線的切線方程問(wèn)題，是一道中檔題．