Question

16．已知定義域?yàn)?[{\frac{1}{3}，3}]$的函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)$x∈[{\frac{1}{3}，1}]$時(shí)，$f（x）=2f（\frac{1}{x}）$，且當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=lnx，若在區(qū)間$[{\frac{1}{3}，3}]$內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{e}）$
• B． $（0，\frac{1}{2e}）$
• C． $[\frac{ln3}{3}，\frac{1}{e}）$
• D． $[\frac{ln3}{3}，1）$

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，作出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)f（x）與y=ax有3個(gè)交點(diǎn)得出a的范圍．

解答 解：當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$，1]時(shí)，$\frac{1}{x}$∈[1，3]，
∴f（x）=2f（$\frac{1}{x}$）=2ln$\frac{1}{x}$=-2lnx，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2lnx，\frac{1}{3}≤x≤1}\\{lnx，1＜x≤3}\end{array}\right.$，
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵函數(shù)g（x）=f（x）-ax的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴y=f（x）與直線y=ax在[$\frac{1}{3}$，3]上有3個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)直線y=ax經(jīng)過點(diǎn)（3，ln3）時(shí)，a=$\frac{ln3}{3}$，
當(dāng)直線y=ax與y=lnx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{{y}_{0}=a{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=a}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=1，a=$\frac{1}{e}$．
∴$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求解，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．