Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥AB，PD⊥BC，且PD=1，E為PC的中點．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求直線PB與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，交BD于點O，連接OE，證明OE∥PA，然后證明PA∥平面BDE．
（2）以D為原點，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，平面BDE的一個法向量，然后利用向量的數(shù)量積求解直線PB與平面BDE所成角的正弦值．

解答 （1）證明：連接AC，交BD于點O，連接OE，則O是AC的中點，
又因為E是PC的中點，所以O(shè)E是三角形PAC的中位線，所以O(shè)E∥PA，
∵OE?平面BDE，∴PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）解：∵PD⊥AB，PD⊥BC，AB∩BC=B，∴PD⊥平面ABCD，
如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），$E（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
∴$\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$，
設(shè)平面BDE的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$
由$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{DB}$得，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0\\ x+y=0\end{array}\right.$，
令x=1，則y=-1，z=1，
∴$\overrightarrow n=（1，-1，1）$，又∵$\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$，
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{PB}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{PB}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{PB}|}}=\frac{-1}{{\sqrt{3}×\sqrt{3}}}=-\frac{1}{3}$，
∴直線PB與平面BDE所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．