Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=$\frac{1}{3}$，且對(duì)任意m，n∈N*，a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立，則a的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由a_m+n=a_m•a_n，令m等于1化簡(jiǎn)后，由等比數(shù)列的定義確定此數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出S_n，利用極限思想和條件求出滿足條件a的范圍，再求出a的最小值

解答 解：由題意得，對(duì)任意正整數(shù)m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，
令m=1，得到a_n+1=a₁•a_n，則$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a₁=$\frac{1}{3}$，
則數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比都為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$）ⁿ＜$\frac{1}{2}$，
因?yàn)镾_n＜a對(duì)任意n∈N*恒成立，所以a≥$\frac{1}{2}$，則實(shí)數(shù)a的最小值是$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列關(guān)系的確定，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．