Question

11．已知冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{（{m}^{2}+m）^{-1}}$（m∈N₊）經(jīng)過點（2，$\sqrt{2}$），試確定m的值，并滿足條件f（2-a）＞f（a-1）的實數(shù)a的取值范圍$[1，\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 將點（2，$\sqrt{2}$）代入解析式列出方程，結(jié)合條件求出m的值，由冪函數(shù)的性質(zhì)判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性，利用定義域、單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{（{m}^{2}+m）^{-1}}$（m∈N₊）經(jīng)過點（2，$\sqrt{2}$），
∴2${\;}^{（{m}^{2}+m）^{-1}}$=$\sqrt{2}$=${2}^{\frac{1}{2}}$，即$\frac{1}{{m}^{2}+m}=\frac{1}{2}$，
解得m=1或m=-2（舍去），
∴f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x}$，則f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴由f（2-a）＞f（a-1）得，$\left\{\begin{array}{l}{2-a＞a-1}\\{a-1≥0}\end{array}\right.$，
解得$1≤a＜\frac{3}{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是$[1，\frac{3}{2}）$，
故答案為：$[1，\frac{3}{2}）$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求冪函數(shù)的解析式，冪函數(shù)的定義域、單調(diào)性的應(yīng)用，注意函數(shù)的定義域．