Question

8．已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入3萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{9.4-\frac{1}{30}{x}^{2}（0≤x≤10）}\\{\frac{110}{x}-\frac{432}{{x}^{2}}（x＞10）}\end{array}\right.$．
（1）寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大？
（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

分析 （1）由年利潤W=年產(chǎn)量x×每千件的銷售收入為R（x）-成本，又由R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{9.4-\frac{1}{30}{x}^{2}（0≤x≤10）}\\{\frac{110}{x}-\frac{432}{{x}^{2}}（x＞10）}\end{array}\right.$，且年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入3萬元．我們易得年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）由（1）的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤的最大值，然后根據(jù)分段函數(shù)的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x≤10時，
$W=xR（x）-（10+3x）=x（9.4-\frac{1}{30}{x^2}）-10-3x=6.4x-\frac{x^3}{30}-10$；
當(dāng)x＞10時，$W=xR（x）-（10+3x）=x（\frac{110}{x}-\frac{432}{x^2}）-10-3x=100-3（x+\frac{144}{x}）$．
所以W=$\left\{\begin{array}{l}{6.4x-\frac{{x}^{3}}{30}-10，x∈（0，10]}\\{100-3（x+\frac{144}{x}），x∈（10，+∞）}\end{array}\right.$；
（2）①當(dāng)0＜x＜10時，由W'=6.4-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，得x=8，
且當(dāng)x∈（0，8）時，W'＞0；當(dāng)x∈（8，10）時，W'＜0，
∴當(dāng)x=8時，W取最大值，且W_max=6.4×8-$\frac{{8}^{3}}{30}$-10≈24．
②當(dāng)x＞10時，W=100-3（x+$\frac{144}{x}$）≤100-3×2$\sqrt{x•\frac{144}{x}}$=100-72=28．
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{144}{x}$，即x=12時，W=28，
故當(dāng)x=12時，W取最大值28．
綜合①②知當(dāng)x=12時，W取最大值28萬元，
故當(dāng)年產(chǎn)量為12千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)及函數(shù)的最值，分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．