Question

18．已知函數(shù)f（x）=ln（x+2）-x²+mx+n在點x=1處的切線與直線3x+7y+1=0垂直，且f（-1）=0；
（1）求實數(shù)m和n的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）與直線3x+7y+2=0垂直的直線的斜率為 $\frac{7}{3}$，令f′（1）=$\frac{7}{3}$，得m，又f（-1）=0，求出n；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x+2}$-2x+4，由f′（x）=0，得x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，然后求解極值與端點值，由此能求出以f（x）在[0，3]最小值．

解答 解：（1）與直線3x+7y+2=0垂直的直線的斜率為$\frac{7}{3}$，
令f′（1）=$\frac{7}{3}$，得m=4，
∵f（-1）=ln（2-1）-1-4+n=0，
∴n=5；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x+2}$-2x+4，
由f′（x）=0，得x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)x∈[0，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，3]時，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減．
∵f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，
所以f（x）在[0，3]最小值為ln2+5．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．