17.設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$,過(guò)點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),若M(-6,0),求當(dāng)三角形MAB的面積S最大值時(shí)直線l的方程.

分析 (1)根據(jù)離心率和通徑的值列方程組求解得基本量a,b.
(2)巧設(shè)方程,避免分類(lèi)討論.聯(lián)立直線和橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理得出三角形面積的表達(dá)式,并根據(jù)基本不等式求得面積最大值,及取面積最大值時(shí)的直線斜率,再寫(xiě)出直線方程.

解答 解:(1)由題可知$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}\\{\frac{{2{b^2}}}{a}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}\end{array}}\right.$.解得$a=\sqrt{5},c=2$
所以b=1,所以橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$…(4分)
(2)由題意,可設(shè)直線l的方程為x=my+2,
則點(diǎn)M到直線l的距離$d=\frac{8}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$.
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$   得(m2+5)y2+4my-1=0.
設(shè)l與E的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
則y1+y2=$-\frac{4m}{{m}^{2}+5}$,y1y2=$-\frac{1}{{m}^{2}+5}$.
于是AB=$\sqrt{(1+{m}^{2})}|{y}_{1}-{y}_{2}|$
=$\sqrt{(1+{m}^{2})[({y}_{1}+{y}_{2})^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$
=$\sqrt{(1+{m}^{2})[\frac{16{m}^{2}}{({m}^{2}+5)^{2}}+\frac{4}{{m}^{2}+5}]}$
=$\frac{2\sqrt{5}({m}^{2}+1)}{{m}^{2}+5}$.
從而S=$\frac{8\sqrt{5}•\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+5}$
令$t=\sqrt{{m}^{2}+1}$(t≥1)則m2=t2-1
S=$\frac{8\sqrt{5}t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{8\sqrt{5}}{t+\frac{4}{t}}$$≤\frac{8\sqrt{5}}{4}$=2$\sqrt{5}$.
當(dāng)且僅當(dāng)$t=\frac{4}{t}$即 $\sqrt{m2+1}$=$\frac{4}{\sqrt{m2+1}}$,即m=±$\sqrt{3}$時(shí),等號(hào)成立.
故當(dāng)m=±$\sqrt{3}$時(shí),S最大,
此時(shí),直線l的方程為x=$\sqrt{3}$y+2或x=-$\sqrt{3}$y+2,即x-$\sqrt{3}$y-2=0或x+$\sqrt{3}$y-2=0.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 考查了橢圓基本性質(zhì),直線與橢圓位置關(guān)系,圓錐曲線中三角形面積的求解方法,基本不等式求最值.考查了方程思想,換元法,整體代換.思路不難找,有一定運(yùn)算量,屬于圓錐曲線的中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

7.如圖,長(zhǎng)寬高分別為a、b、c的長(zhǎng)方體的六條面對(duì)角線組成等腰四面體ABCD.
(1)求證等腰四面體ABCD的每個(gè)面都是銳角三角形;
(2)求等腰四面體的體積及其外接球的表面積.

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8.已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元,每生產(chǎn)1千件需另投入3萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷(xiāo)售完,每千件的銷(xiāo)售收入為R(x)萬(wàn)元,且R(x)=$\left\{\begin{array}{l}{9.4-\frac{1}{30}{x}^{2}(0≤x≤10)}\\{\frac{110}{x}-\frac{432}{{x}^{2}}(x>10)}\end{array}\right.$.
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大?
(注:年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-年總成本)

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5.已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3a2x-a3(a∈R)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱(chēng).
(1)確定f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)g(x)=f(x)-2x2在[-1,1]上的最大值和最小值.

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12.已知向量$\overrightarrow a$=(sinθ,-1)與$\overrightarrow b$=(2,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0,π).
(1)求sinθ和cosθ的值;
(2)求$cos(θ+\frac{π}{4})$值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

2.已知f(x)為定義在(-∞,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù),且f(x)>f′(x)對(duì)于x∈R恒成立(e為自然對(duì)數(shù)的底),則( 。
A.e2015•f(2016)>e2016•f(2015)
B.e2016•f(2016)=e2016•f(2015)
C.e2015•f(2016)<e2016•f(2015)
D.e2015•f(2016)與e2016•f(2015)大小不確定

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9.有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,按照大于等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如下的列聯(lián)表.
優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)
甲班10
乙班30
合計(jì)105
已知在全部105人中隨機(jī)抽取一人為優(yōu)秀的概率為$\frac{2}{7}$.
(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按97.5%的可靠性要求,能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”;
(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生抽取一人:把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進(jìn)行編號(hào),先后兩次拋擲一枚均勻的骰子,出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào).試求抽到8或9號(hào)的概率.
參考公式和數(shù)據(jù):${K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$
P(K2≥k00.150.100.050.0250.0100.0050.001
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

6.如圖,線段AB在平面α內(nèi),線段AC⊥α,線段BD⊥AB,且AB=1,AC=BD=4,BD與α所成角的正弦值為$\frac{1}{4}$,則CD=( 。
A.5B.$\frac{11}{2}$C.6D.7

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10.用數(shù)學(xué)歸納法證明:12+32+52+…+(2n-1)2=$\frac{1}{3}$n(4n2-1)(n∈N*).

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