Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2$\sqrt{2}$，AP=AD=AB=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）設平面PAD與平面PBC的交線為l，證明BC∥l；
（Ⅱ）試在棱PA上確定一點E，使得PC∥平面BDE，并求出此時$\frac{AE}{EP}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由BC∥平面PAD，推導出l∥BC．
（Ⅱ）連接AC，BD，相交于O，過O作OE∥PC，與PA交于E，如圖1，則PC∥平面BDE．

解答 （Ⅰ）證明：∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，
∴AD∥BC，AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
又平面PBC過BC，且與平面PAD交于l，
∴BC∥l；
（Ⅱ）解：連接AC，BD，相交于O，過O作OE∥PC，與PA交于E，如圖1，則PC∥平面BDE，
此時AE：EP=AO：OC=AD：BC=$\sqrt{2}$：2$\sqrt{2}$=1：2．

點評 本題考查了線面平行的判定定理和性質定理的運用；關鍵是適當作輔助線，將問題轉化為線線關系解答．