Question

17．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求證：平面SDC⊥平面SBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取SC的中點(diǎn)為E，連結(jié)ME，ED，證明ADEM為平行四邊形，從而證明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）證明：AM⊥平面SBC，利用AM∥ED，可得ED⊥平面SBC，即可證明平面SDC⊥平面SBC．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，取SC的中點(diǎn)為E，連結(jié)ME，ED
在△SBC中，M、E分別是SB、SC的中點(diǎn) 
∴ME∥BC，且ME=$\frac{1}{2}$BC
又BC=2，AD=1，且AD∥BC
∴ME∥AD，且ME=AD
∴ADEM為平行四邊形
故AM∥ED．
又ED?平面SCD，AM?平面SCD
∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）∵CB⊥AB，CB⊥SA，AB∩SA=A，
∴CB⊥平面SAB，
∵AM?平面SAB，∴CB⊥AM，
∵SA=AB，M是棱SB的中點(diǎn)，
∴AM⊥SB，
∵CB∩SB=B，∴AM⊥平面SBC，
∵AM∥ED，∴ED⊥平面SBC，
∵ED?平面SDC，
∴平面SDC⊥平面SBC．

點(diǎn)評 本題考查了空間中的平行與垂直，同時(shí)涉及了轉(zhuǎn)化的思想，綜合性較大，屬于中檔題．