Question

17．如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，BD與EF交于點H，G為BD中點，點R在線段BH上，且$\frac{BR}{RH}$=λ（λ＞0）．現(xiàn)將△AED，△CFD，△DEF分別沿DE，DF，EF折起，使點A，C重合于點B（該點記為P），如圖2所示．
（I）若λ=2，求證：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）是否存在正實數(shù)λ，使得直線FR與平面DEF所成角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）若λ=2，證明PD⊥平面PEF，GR∥PD，即可證明：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面DEF的一個法向量，利用直線FR與平面DEF所成角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 （I）證明：由題意，PE，PF，PD三條直線兩兩垂直，∴PD⊥平面PEF，
圖1中，EF∥AC，∴GB=2GH，
∵G為BD中點，∴DG=2GH．
圖2中，∵$\frac{PR}{GH}=\frac{BR}{RH}$=2，∴△PDH中，GR∥PD，
∴GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）解：由題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)PD=4，則P（0，0，0），F(xiàn)（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），
∵$\frac{PR}{RH}$=λ，∴R（$\frac{λ}{1+λ}$，$\frac{λ}{1+λ}$，0），
∴$\overrightarrow{RF}$=（$\frac{2+λ}{1+λ}$，-$\frac{λ}{1+λ}$，0），
∵$\overrightarrow{EF}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，2，-4），
設(shè)平面DEF的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y=0}\\{2y-4z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（2，2，1），
∵直線FR與平面DEF所成角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$，
∴$\frac{\frac{4}{1+λ}}{3\sqrt{（\frac{2+λ}{1+λ}）^{2}+（-\frac{λ}{1+λ}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
∴λ=$\frac{1}{3}$，
∴存在正實數(shù)λ=$\frac{1}{3}$，使得直線FR與平面DEF所成角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計算，考查向量方法的運(yùn)用，屬于中檔題．