【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),判斷 在上的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)時(shí),求證: ,都有
【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析
【解析】試題分析:(1)由得切線斜率,由點(diǎn)斜式寫切線方程即可;
(2)由,易知在上,從而得知函數(shù)為增函數(shù);
(3)由(2)可知,當(dāng)時(shí), 在區(qū)間單調(diào)遞增,易知不等式成立;當(dāng)時(shí),設(shè), ,分析單調(diào)性可知存在唯一的實(shí)數(shù),使得,又 , ,所以當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的, .
試題解析:
(1)當(dāng)時(shí), , .
得 又,
所以曲線在處的切線方程為
(2)方法1:因?yàn)?/span>,所以.
因?yàn)?/span>,所以,所以.
所以 當(dāng)時(shí), ,所以在區(qū)間單調(diào)遞增.
方法2:因?yàn)?/span>,所以.
令, 則 ,
隨x的變化情況如下表:
x | |||||
+ | |||||
極大值 |
當(dāng)時(shí), .
所以時(shí), ,即,
所以在區(qū)間單調(diào)遞增.
(3)方法1:由(2)可知,當(dāng)時(shí), 在區(qū)間單調(diào)遞增,
所以時(shí), .
當(dāng)時(shí),設(shè),
則 ,
隨x的變化情況如下表:
x | |||||
+ | |||||
極大值 |
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
因?yàn)?/span>, ,
所以存在唯一的實(shí)數(shù),使得,
且當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,
所以在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.
又 , ,
所以當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的, .
綜上所述,當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,均有.
方法2:由(Ⅱ)可知,當(dāng)時(shí), 在區(qū)間單調(diào)遞增,
所以時(shí), .
當(dāng)時(shí), 由(Ⅱ)可知, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
因?yàn)?/span>, ,
所以存在唯一的實(shí)數(shù),使得,
且當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,
所以在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.
又 , ,
所以當(dāng)時(shí),對(duì)于任意的,.
綜上所述,當(dāng)時(shí),對(duì)任意的,均有.
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(I)求此圓的方程;
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(1)求實(shí)數(shù)的值,并說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性;
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