【題目】已知函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(2)已知正數(shù)滿足:存在,使得成立.試比較與的大小,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】分析:(1)設(shè),不等式可化為 ,對可把作為一個整體,分子分母同除以,轉(zhuǎn)化后可利用基本不等式求得其最值,從而得的范圍;
(2)令函數(shù),則,由導(dǎo)數(shù)可求得的最小值,而題中命題成立,即這個最小值,從而可得的取值范圍,而比較與,即比較與的大小,即比較與的大小.于是可構(gòu)造函數(shù)(),利用導(dǎo)數(shù)得出其單調(diào)性,從而得結(jié)論.
詳解:(1)由條件知在上恒成立,
令(),則,所以對于任意成立.
因為,∴,
當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.
因此實數(shù)的取值范圍是.
(2)令函數(shù),則,
當(dāng)時,,,又,故,
所以是上的單調(diào)遞增函數(shù),
因此在上的最小值是.
由于存在,使成立,當(dāng)且僅當(dāng)最小值,
故,即.
與均為正數(shù),同取自然底數(shù)的對數(shù),
即比較與的大小,試比較與的大。
構(gòu)造函數(shù)(),則,
再設(shè),,從而在上單調(diào)遞減,
此時,故在上恒成立,則在上單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時,;
當(dāng)時,;
當(dāng)時,.
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【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且x≤0時, f(x)=-x+1
(1)求f(0),f(2);
(2)求函數(shù)f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<3,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)在上是奇函數(shù).
(1)求;
(2)對,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)令,若關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】研究變量,得到一組樣本數(shù)據(jù),進(jìn)行回歸分析,有以下結(jié)論
①殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好;
②用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果,越小說明擬合效果越好;
③在回歸直線方程中,當(dāng)解釋變量每增加1個單位時,預(yù)報變量平均增加0.2個單位
④若變量和之間的相關(guān)系數(shù)為,則變量和之間的負(fù)相關(guān)很強(qiáng),以上正確說法的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】已知二次函數(shù).
(1)若的解集為,且方程有兩個相等的根,求解析式;
(2)若,且對任意實數(shù)均有成立,當(dāng)時,是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
(1)設(shè)函數(shù)的圖象與軸交點為,曲線在點處的切線方程是,求,的值;
(2)若函數(shù),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】生物學(xué)家預(yù)言,21世紀(jì)將是細(xì)菌發(fā)電造福人類的時代。說起細(xì)菌發(fā)電,可以追溯到1910年,英國植物學(xué)家利用鉑作為電極放進(jìn)大腸桿菌的培養(yǎng)液里,成功地制造出世界上第一個細(xì)菌電池。然而各種細(xì)菌都需在最適生長溫度的范圍內(nèi)生長。當(dāng)外界溫度明顯高于最適生長溫度,細(xì)菌被殺死;如果在低于細(xì)菌的最低生長溫度時,細(xì)菌代謝活動受抑制。為了研究某種細(xì)菌繁殖的個數(shù)是否與在一定范圍內(nèi)的溫度有關(guān),現(xiàn)收集了該種細(xì)菌的6組觀測數(shù)據(jù)如下表:
經(jīng)計算得:,,線性回歸模型的殘差平方和.其中分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度與繁殖數(shù),.
參考數(shù)據(jù):,,
(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程(精確到0.1);
(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得關(guān)于回歸方程為,且非線性回歸模型的殘差平方和.
(ⅰ)用相關(guān)指數(shù)說明哪種模型的擬合效果更好;
(ⅱ)用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為34℃時該種細(xì)菌的繁殖數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).
附:一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計為,;
相關(guān)指數(shù)
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【題目】某工廠每日生產(chǎn)一種產(chǎn)品噸,每日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日銷售完畢,日銷售額為萬元,產(chǎn)品價格隨著產(chǎn)量變化而有所變化,經(jīng)過一段時間的產(chǎn)銷,得到了,的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
(1)請判斷與中,哪個模型更適合刻畫,之間的關(guān)系?可從函數(shù)增長趨勢方面給出簡單的理由;
(2)根據(jù)你的判斷及下面的數(shù)據(jù)和公式,求出關(guān)于的回歸方程,并估計當(dāng)日產(chǎn)量時,日銷售額是多少?
,,
,.
線性回歸方程中,,.
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